Jean Dieudonné, mathématicien complet PDF

Pour ne plus se limiter aux dimensions deux et trois et pour permettre l’élaboration d’une théorie plus puissante, un modèle algébrique de la géométrie est envisagé. Plus de 2 000 ans après sa naissance, l’espace géométrique euclidien est un outil toujours efficace aux vastes domaines d’applications. A l’exception des échelles cosmiques et microscopiques, l’espace des physiciens reste encore principalement du domaine de la géométrie euclidienne. Son aspect jean Dieudonné, mathématicien complet PDF est traité de manière didactique dans l’article produit scalaire.


L’article se fonde sur la formalisation d’un vecteur à l’aide d’un bipoint, développé dans vecteur. Une approche plus poussée, fondée sur la formalisation axiomatique de l’espace vectoriel est développée dans espace euclidien. Articles détaillés : Vecteur et Produit scalaire. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d’un côté est strictement inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté. Les raisonnements sur les figures géométriques portent sur leurs intersections et leurs dimensions : sur l’incidence et la mesure. La construction d’Euclide permet le développement des notions de mesure de longueur, d’aire, de volume, d’angle.

Il existe de nombreuses aires de surfaces usuelles calculables par les techniques des Éléments. Les deux théorèmes fondamentaux sont le théorème de Pythagore et celui de Thalès. Un peu d’analyse permet d’aller plus loin avec la trigonométrie. La formule de l’aire d’un rectangle ou d’un triangle, le théorème de Thalès ainsi que celui de Pythagore offrent tous des relations algébriques entre des grandeurs que sont les côtés d’un triangle ou d’un rectangle. Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison a pour objectif la résolution d’une équation du second degré quelconque.

Cette géométrisation de l’algèbre porte ses fruits aussi en arithmétique, la science des nombres. Articles détaillés : Triangle et Construction à la règle et au compas. Figure à la règle et au compas : heptadécagone, un polygone régulier de 17 côtés. Un objectif de la géométrie euclidienne est la construction de figures à la règle et au compas. L’étude du triangle relève de ce domaine.

La richesse des résultats obtenus est illustrée par la liste des éléments remarquables d’un triangle. Une spécificité de la géométrie euclidienne réside dans le fait qu’elle n’utilise initialement que peu ou pas du tout de théorèmes complexes et puissants d’algèbre ou d’analyse. C’est une mathématique autonome et indépendante, où les preuves proviennent essentiellement de raisonnements purement géométriques. La géométrie euclidienne a de nombreuses applications.

La Renaissance fait largement appel aux techniques des Éléments. Ces mathématiques servent aussi à la mesure, à la fois pour les arpenteurs et dans un objectif scientifique. La géométrie euclidienne garde son utilité car elle modélise avec pertinence le monde physique ambiant. Cependant, l’approche purement antique devient trop restrictive.

Elle n’offre pas un cadre suffisant pour le développement des mathématiques. Avec le temps l’algèbre et l’analyse deviennent prédominantes : de nouvelles techniques, éloignées de celles héritées d’Euclide, sont développées. En ce qui concerne la modélisation de l’espace physique, ces nouveautés sont utilisées dans le cadre d’une géométrie peu formalisée, néanmoins avec un large succès. Encore maintenant, et dans un contexte très général, la géométrie usuelle de la physique reste euclidienne. Elle permet des résultats spectaculaires, comme la mécanique newtonienne.